Amostrar código-fuonte de Sequéncia (matemática)

{{Outros seneficados||Sequéncia}}
{{Sin-notas|data=júnio de 2010| arte=| Brasil=| ciéncia=| geografie=| música=| Pertual=| sociadade=|1=|2=|3=|4=|5=|6=}}
Ua sequéncia ye ua lista [[Relaçon d'orde|ourdenada]] d'oubjetos, númaros ó eibentos{{Carece de fuontes|data=márcio de 2010}}. Frequentemente ne ls deparamos cun situaçones an qu'enumeramos eilemientos dun [[cunjunto]] seguindo ua detreminada ourdenaçon:

# De la sucesson de ls [[persidente]]s dun [[paíç]];
# De la sequéncia de ls [[eipisódio]]s dua [[menissérie]] de [[telebison]];

Repare qu'hai dous aspetos amportantes na sequéncia: l '''tipo'''{{Carece de fuontes|data=Outubre de 2009}} i la '''orde''' de ls eilemientos. Todos ls eilemientos dua sucesson son de l <u>mesmo tipo</u>{{Carece de fuontes|data=Outubre de 2009}} (por eisemplo: solo persidentes) i oubedecen ua <u>ourdenaçon</u> (por eisemplo: purmeiramente ocorre l purmeiro eipisódio de a menissérie, depuis l segundo eipisódio, depuis l terceiro eipisódio...).

An [[matemática]], ua '''sequéncia''' (ó ua '''sucesson''') ye ua lista ([[cunjunto]]) de númaros (ó bariables que ls repersenten). Formalmente, la sequéncia ye ua lista cuja orde ye defenida por ua "lei", ua [[funçon]] specífica. 

== Defeniçon formal ==
Ua '''sucesson''' ye defenida cumo sendo un [[cunjunto]] <math>S,</math> dotado de las seguintes caratelísticas:
# Todos ls sous eilemientos son de l mesmo '''tipo''' (por eisemplo: capítulos dua [[telenobela]]);{{Carece de fuontes|data=Outubre de 2009}}
# Ls eilemientos tamien son chamados '''[[Termo (Matemática)|tenermos]]''' de la sucesson;
# Cada termo ten ua '''posiçon''' defenida, drento de l cunjunto <math>S;</math>
# La posiçon de cada termo ye detreminada por un [[númaro natural]], chamado '''índice''';
# Cada termo ten un único índice, i cada índice pertence a un único termo ([[correspondéncia biuníboca]]);
# dous tenermos solo puoden ser [[permutaçon|permutados]] se ls sous respetibos índices tamien fúren.

===Sequéncia de númaros reales===
Ua sequéncia de númaros reales ye ua [[funçon]] f:N→R pa la qual denotamos l balor de f an m por f<sub>m</sub>, an beç de f(m). Este termo f<sub>m</sub> ye dezido cumo sendo l m-ésimo termo de la sequéncia, que tamien puode ser repersentada por {f<sub>1</sub>, f<sub>2</sub>, f<sub>3</sub>, f<sub>4</sub>...} <ref>CATTAI, Adriano Pedreira. Análeze matemática I. Ounibersidade de l Stado de la Bahia (UNEB). 2º semestre 2008. Çponíbel an: <http://cattai.webnode{{Lhigaçon einatiba|date=October 2023 |bot=InternetArchiveBot |fix-attempted=yes }} .com/ansino/uneb/analiseun/>. Acesso an: 09 janeiro 2011. Páigina 38.</ref><ref>LIMA, Eilon Lages. Curso d'análeze belume 1. 11ª eidiçon. 2004. Capítulo 4, páigina 100.</ref>.

==Tipos de sequéncias==
{{rebison-subre|matemática}}
<!--

La bagunça ne ls simblos anseridos an eidiçones cumo
https://t.wikipedie.org/wiki/Sequéncia_(matemática)?diff=23362933 (tal que x b m ≤ , para to natural m, ó inda, x ( b] m ∈ (−∞,b])
https://t.wikipedie.org/wiki/Sequéncia_(matemática)&diff=23362868 (m la ≤ x , ∀m∈ N)
ye típica de cópias feitas d'arquibos an PDF (talbeç l de l link persente nas refréncias, qu'anfelizmente stá ouffline)!

-->
Eesisten sequéncias nun numéricas, cumo '''S<sub>1</sub>''' = (demingo, segunda-feira, terça-feira) i '''S<sub>2</sub>''' = (1º de dezembre, 2 de dezembre, 3 de dezembre,..., 29 de dezembre, 30 de dezembre, 31 de dezembre), mas las numéricas son de maior antresse pa la [[Matemática]]. Eilhas puoden ser classeficadas d'acuordo cun dibersos critérios:

{| class="wikitable"
|-
! Sequéncia monótona? !! Sequéncia lemitada? !! Sucessones fenitas: possuen un númaro '''[[wikt:t:fenito|fenito]]''' de tenermos !! Sucessones anfenitas: possuen un númaro '''[[wikt:t:anfenito|anfenito]]''' de tenermos
|-
| rowspan= 4| Si: sequéncia crecente (ocorre se <math>\forall m\in\mathbb N:la_m<la_{m+1};</math>) || Lemitadas superiormente i anferiormente || '''S<sub>3</sub>''' = (1, 2, 3, 4, 5, 6); '''S<sub>4</sub>''' = (-59, -32, 21, -1, 0, 1, 2, 3, -5, 933); '''S<sub>8</sub>''' = (la<sub>1</sub>, la<sub>2</sub>) || Nun ye possible que la sequéncia seia al mesmo tiempo crecente, anfenita i lemitada.
|-
| Sequéncia lemitada (solo) superiormente: eisiste un númaro rial b tal que x<sub>m</sub> ≤ b, para to natural m, ó inda, x ( b] m ∈ (−∞,b] <ref name="FORTIUM">FORTIUM – Grupo Eiducacional. Sequéncias numéricas. Çponíbel an: <http://www.fortiun{{Lhigaçon einatiba|date=October 2023 |bot=InternetArchiveBot |fix-attempted=yes }} .com.br/faculdadefortiun .com.br/jefferson_arruda/material/2_Sequencias_numericas_Funcoes.pdf>. Acesso an: 9 jan 2011. Páigina 2.</ref> || rowspan=3 | Nun ye possible qu'ua sequéncia seia al mesmo tiempo fenita i elimitada (seia superiormente, anferiormente ó ambos) || '''S<sub>m</sub>''' = (...-6, -5, -4, -3, -2, -1)
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| Sequéncia lemitada (solo) anferiormente: quando eisiste la∈R tal que la<sub>m</sub> ≤ x , ∀m∈ N<ref name="FORTIUM"/> || '''S<sub>5</sub>''' = (1, 2, 3, 4, 5, 6...)
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| Nó, sequéncia ilimitada (quando nun ye lemitada).<ref name="FORTIUM"/> || '''S<sub>m</sub>''' = (...-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3...)
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| rowspan=4| Si: sequéncia nun crecente || Lemitadas superiormente i anferiormente || x || x<sub>m</sub>=1 para to m pertencente al cunjunto de ls númaros naturales. Esto define la sequéncia custante (1,1,1,1,1,...,1,...); eilha ye eibidentemente lemitada, nun decrecente i tamien nó crecente.<ref name="Eilon-103">LIMA, Eilon Lages. Curso d'análeze belume 1. 11ª eidiçon. Páigina 103.</ref>.
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| Sequéncia lemitada (solo) superiormente || rowspan=3 | Nun ye possible qu'ua sequéncia seia al mesmo tiempo fenita i elimitada (seia superiormente, anferiormente ó ambos) || '''S<sub>9</sub>''' = (la<sub>1</sub>, la<sub>2</sub>, la<sub>3</sub>, la<sub>4</sub>, la<sub>5</sub>,..., la<sub>m</sub>...) causo esta seia ua sucesson numérica i la<sub>1</sub> seia l menor númaro
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| Sequéncia lemitada (solo) anferiormente || Nun ye possible; ua sequéncia nun crecente ye siempre lemitada superiormente pul sou purmeiro termo, por eisemplo <ref name="Eilon-102">LIMA, Eilon Lages. Curso d'análeze belume 1. 11ª eidiçon. Páigina 102.</ref>.
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| Nó, sequéncia ilimitada || Nun ye possible; ua sequéncia nun crecente ye siempre lemitada superiormente pul sou purmeiro termo, por eisemplo.<ref name="Eilon-102"/>
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| rowspan=4| Si: sequéncia decrecente || Lemitadas superiormente i anferiormente || Eisemplo || Nun ye possible que la sequéncia seia al mesmo tiempo decrecente, anfenita i lemitada.
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| Sequéncia lemitada (solo) superiormente || rowspan=3 | Nun ye possible qu'ua sequéncia seia al mesmo tiempo fenita i ilimitada (seia superiormente, anferiormente ó ambos) || '''S<sub>6</sub>''' = <math>\left(\frac{1}{1},\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4},\frac{1}{5},\ldots \right)</math>
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| Sequéncia lemitada (solo) anferiormente || Eisemplo
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| Nó, sequéncia elimitada || Eisemplo
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| rowspan=4| Si: sequéncia nun decrecente || Lemitadas superiormente i anferiormente || Eisemplo || x<sub>m</sub>=1 para to m pertencente al cunjunto de ls númaros naturales. Esto define la sequéncia custante (1,1,1,1,1,...,1,...); eilha ye eibidentemente lemitada, nun decrecente i tamien nó crecente.<ref name="Eilon-103"/>
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| Sequéncia lemitada (solo) superiormente || rowspan=3 | Nun ye possible qu'ua sequéncia seia al mesmo tiempo fenita i elimitada (seia superiormente, anferiormente ó ambos) || Nun ye possible; ua sequéncia nun decrecente ye siempre lemitada anferiormente pul sou purmeiro termo, por eisemplo.<ref name="Eilon-102"/>
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| Sequéncia lemitada (solo) anferiormente || Eisemplo
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| Nó, sequéncia ilimitada || Nun ye possible; ua sequéncia nun decrecente ye siempre lemitada anferiormente pul sou purmeiro termo, por eisemplo.<ref name="Eilon-102"/>
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| rowspan=4| Nun || Lemitadas superiormente i anferiormente || '''S<sub>10</sub>''' = <math>\left(\frac{1}{1},-\frac{1}{2},\frac{1}{3},-\frac{1}{4},\frac{1}{5}\right)</math> || x<sub>m</sub>= 0 para m par i 1 para 1 ímpar. La sequéncia assi defenida ye (1,0,1,0,...). Sou cunjunto de balores ye x(N)={0,1}. La mesma sequéncia poderie ser defenida perla fórmula x<sub>m</sub>=(1/2)[1+(-1)<sup>m+1</sup>] ó anton por x<sub>m</sub>= sen²(mπ/2). Esta sequeéncia ye lemitada i nun ye monótona.<ref name="Eilon-103"/>
|-
|Sequéncia lemitada (solo) superiormente || rowspan=3 | Nun ye possible qu'ua sequéncia seia al mesmo tiempo fenita i elimitada (seia superiormente, anferiormente ó ambos) || Eisemplo
|-
| Sequéncia lemitada (solo) anferiormente || Eisemplo
|-
| Nó, sequéncia ilimitada || '''S<sub>7</sub>''' = <math>\left(\frac{1}{1},-\frac{1}{2},\frac{1}{3},-\frac{1}{4},\frac{1}{5}...\right)</math>
|} 

Ouserbe que:
* S<sub>2</sub> ten mais tenermos que S<sub>1</sub>, mas ambas son sucessones fenitas: S<sub>1</sub> ten 3 tenermos (3 purmeiros dies de la [[sumana]]) i S<sub>2</sub> ten 31 tenermos (ls 31 dies de l més de dezembre);
* Las sucessones S<sub>3</sub> i S<sub>5</sub> parécen ser eiguales, mas S<sub>3</sub> ten solo 6 tenermos, anquanto que las reticéncias an S<sub>5</sub> andican que la cuntaige de sous tenermos jamales tremina;
* Las sucessones S<sub>6</sub> i S<sub>7</sub> parécen ser eiguales, mas an S<sub>6</sub> todos ls tenermos ténen senhal positibo, anquanto qu'an S<sub>7</sub> ls tenermos cun [[chamador]] [[Númaros pares i ímpares|par]] ténen senhal negatibo;
* Nin to sucesson ye "bonitenie": muitas bezes ls tenermos seran mui defrentes uns de ls outros, i eidantificar un padron antre eilhes será tan defícel que permanecerá çconhecido. Un bun eisemplo çto ye la sucesson S<sub>4</sub>;
* L purmeiro termo de la sucesson S<sub>9</sub> ye la<sub>1</sub>, l segundo termo ye la<sub>2</sub>, l terceiro termo ye la<sub>3</sub>, i assi por delantre. La notaçon la<sub>m</sub> ye outelizada para repersentar un <u>termo genérico</u> de la sucesson. Cumo la<sub>m</sub> ye l termo de índice ''m'', dezimos qu'el ye l ''m-ésimo'' (ó ''enésimo'') termo de la sucesson. Ye amportante notar que la<sub>m</sub> nun puode ser l "radadeiro" termo de S<sub>9</sub>, pus S<sub>9</sub> ye ua sucesson anfenita, i ua sucesson anfenita nun ten un "radadeiro termo".

== Strutura ==
[[Fexeiro:Bijetora.png|thumb|200px|right|Ua sucesson '''''S''''', gerada pula funçon bijetora '''''f''''' a partir de l domínio '''''D'''''. Este domínio ye l cunjunto de ls índices de la sucesson.]]
Filosoficamente, to sucesson ten ua '''lei de formaçon''' (ó seia: la lei que gerou ls tenermos de la sucesson). Inda assi, esto nun garante que siempre será possible screbé-la. Quando fur possible screbé-la, deziremos que la sucesson <math>S</math> <u>efetibamente</u> ten ua lei de formaçon.

Se la sucesson <math>S</math> efetibamente tenr ua lei de formaçon i esta lei podir ser scrita usando [[notaçon matemática]], deziremos qu'esta lei ye la [[funçon]] <math>f:\mathbb{N}\mapsto S,</math> an que [[númaro natural#Notaçon|<math>{\color{CadetBlue}\mathbb{N}}</math>]] ye l cunjunto de ls índices i <math>S</math> ye l cunjunto de ls tenermos que son gerados a partir daqueles índices.

Na figura al lado, ouserbe que:
# '''''D''''' i '''''S''''' son cunjuntos numéricos fenitos;
# L cunjunto '''''D''''' ye un [[subconjunto]] de <math>\mathbb{N};</math>
# '''''D''''' ye l [[funçon#Domínio, cuntradomínio i eimaige|domínio]] de la funçon '''''f''''';
# '''''S''''' ye l [[cuntradomínio]] de la funçon '''''f''''';
# Ls eilemientos de l cunjunto '''''D''''' son ls índices de la sucesson '''''S''''';
# La funçon '''''f''''', atrabeç de sue fórmula (ó spresson, ó sentença), outeliza ls índices de l cunjunto '''''D''''' para gerar ls eilemientos de l cunjunto '''''S''''' (tenermos de la sucesson '''''S''''');
# La spresson de '''''f''''' ye '''''f(m) = 2 . m'''''. Esto senefica qu'esta funçon "fabrica" tenermos que son l dobro de l balor de sous índices respetibos.

Eesistindo la funçon matemática <math>f,</math> sue spresson será cumpuosta por ua ó mais [[funçon eilementar|funçones eilementares]], i por esto deziremos:
# Que la spresson de la funçon <math>f</math> ye la [[fórmula de l termo giral]]; i
# Que la sucesson <math>S</math> ten '''repersentaçon matemática cerrada''' (dada pula fórmula de l termo giral).

Assi, ua sucesson ó sequéncia matemática <math>S</math> ye l resultado de l'aplicaçon de la funçon matemática <math>f</math> subre cada eilemiento de <math>\mathbb{N}.</math> 

=== Eisemplos ===
1) Seia la sucesson <math>S</math> defenida pula funçon <math>f:\mathbb{N}\mapsto S</math> tal que <math>f(m) = 2^m.</math> 

Cumo <math>f(m) = 2^m,</math> sabemos que la cada índice ''m'' (pertencente la <math>\mathbb{N}</math>) eisistirá un termo respetibo <math>2^m</math> (pertencente la <math>S</math>).

Antoce, <math>S = (1, 2, 4, 8, 16, 32...)</math>

La correspondéncia antre cada termo de la sucesson <math>S</math> i l sou índice puode ser repersentada nua tabela, cumo segue:

<table border="1" cellpadding="3">

<tr><td align="right">'''índice →'''</td><td>0</td><td>1</td><td>2</td><td>3</td><td>4</td><td>5</td><td>...</td><td>''m''</td>

<tr><td align="right">'''fórmula de l termo →'''</td><td>2<sup>0</sup></td><td>2<sup>1</sup></td><td>2²</td><td>2³</td><td>2<sup>4</sup></td><td>2<sup>5</sup></td><td>...</td><td>''2<sup>m</sup>''</td>

<tr><td align="right">'''termo →'''</td><td>1</td><td>2</td><td>4</td><td>8</td><td>16</td><td>32</td><td>...</td><td>''2<sup>m</sup>''</td>

</table>

2) Outro bun eisemplo de sequéncia ye l'enumeraçon ourdenada crecente de ls <u>númaros naturales nó-nulos</u> (<math>\mathbb{N}^*</math>):

<math>S = (1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12...).</math> 

Neste causo, la funçon <math>f:\mathbb{N}\mapsto S</math> ye tal que <math>f(m)=m+1.</math> 

Tal qual ne l'eisemplo anterior, podemos outelizar ua tabela para repersentar ls índices i tenermos de la sucesson, assi cumo la relaçon qu'oubtén cada termo a partir de l sou índice:

<table border="1" cellpadding="1">

<tr><td align="right">'''índice →'''</td><td>0</td><td>1</td><td>2</td><td>3</td><td>4</td><td>5</td><td>6</td><td>7</td><td>8</td><td>9</td><td>10</td><td>11</td><td>...</td><td>''m''</td>

<tr><td align="right">'''fórmula de l termo →'''</td><td>0+1</td><td>1+1</td><td>2+1</td><td>3+1</td><td>4+1</td><td>5+1</td><td>6+1</td><td>7+1</td><td>8+1</td><td>9+1</td><td>10+1</td><td>11+1</td><td>...</td><td>''m+1''</td>

<tr><td align="right">'''termo →'''</td><td>1</td><td>2</td><td>3</td><td>4</td><td>5</td><td>6</td><td>7</td><td>8</td><td>9</td><td>10</td><td>11</td><td>12</td><td>...</td><td>''m+1''</td>

</table>

Se <math>S</math> fur l cunjunto de ls anteiros (<math>\mathbb{Z}</math>), anton tratar-se-á dua [[sequéncia d'anteiros|sucesson anteira]]. Se <math>S</math> fur un cunjunto de polinómios, anton tratar-se-á dua sucesson polinomial.

An ciertos causos, puode-se falar an '''cumbergéncia''' i an '''dibergéncia''' de la sucesson. Esto ye çcutido an mais detalhes ne l'artigo subre [[lemites]].

== La sintaxe na notaçon matemática ==
Para repersentar ua sucesson, tamien ye quemun l'uso de la notaçon {<math>la_{m}</math>}. Mas, ls matemáticos mais formales tenden a rejeitar este formato. L motibo ye qu'an matemática faç-se uso de las chabes siempre que se zeia repersentar un <u>cunjunto</u> atrabeç de l'enumeraçon de ls sous eilemientos, ó quando se zeia çpor de la sue <u>lei de formaçon</u>. Assi, puode-se por eisemplo screbir l cunjunto La = {2,4,8,16,32,64,128,256}, ó inda repersentá-lo por La = '''{'''2<sup>k</sup> | <math>k \in</math> {1,2,3,4,5,6,7,8}'''}'''.

''Nota: l cunjunto L'arriba tamien puode ser antendido cumo <u>l cunjunto de todas las poténcias de base 2 i spoente '''k''', an que '''k''' ye un númaro natural que pertence al cunjunto</u> {1,2,3,4,5,6,7,8}. Antoce, La = {2<sup>1</sup>,2²,2³,2<sup>4</sup>,2<sup>5</sup>,2<sup>6</sup>,2<sup>7</sup>,2<sup>8</sup>} = {2,4,8,16,32,64,128,256}.''

L porblema ye que, an teorie de ls cunjuntos, la <u>orde</u> i la <u>frequéncia</u> cun que ls eilemientos aparecen i se repeten nada afetan la strutura de l cunjunto. Antoce, se B = {8,256,64,16,2,128,64,8,4,32,256,128,2}, cada un de ls eilemientos de B eisiste tamien an La (i al alrobés), i l fato d'alguns eilemientos de l cunjunto B se repetiren puode (i debe) ser eignorado, pus <u>eilemientos repetidos son cumputados solamente ua beç</u>, sendo andiferente repersentar B por {8,256,64,16,2,128,64,8,4,32,256,128,2} ó sinteticamente por {8,256,64,16,2,128,4,32}. Antoce, ambora l'orde an qu'aqueilhes eilemientos apareçan ne ls dous cunjuntos seia defrente, i ambora an B alguns eilemientos se repitan, na berdade L'i B ténen satamente ls mesmos eilemientos. Por bias desso, '''puode-se afirmar que La = B'''.

Por outro lado, quando se zeia repersentar un par ourdenado, úsan-se ls parénteses: (''x'',''y''). De l mesmo modo, ua tripla ourdenada poderie ser repersentada por (''x'',''y'',''ç'') i ua quádrupla ourdenada de númaros anteiros poderie ser repersentada por (-1000,2,68,-19).

La defrença eissencial antre l par {''x'',''y''} i l par (''x'',''y'') ye la queston de l'orde: ne l causo de l par {''x'',''y''} '''l'orde nun amporta''', antoce l par {''y'',''x''} ye eigual al par {''x'',''y''}, i ambos repersentan un cunjunto que ten dous eilemientos: ''x'' i ''y''.

Yá l par ourdenado (''x'',''y'') ye defrente de l par ourdenado (''y'',''x''), pus neste causo '''l'orde amporta''' (dende l'uso de la palabra ''ourdenado''). Esto splica l motibo por que, ua beç que ls pares (2,3) i (3,2) son defrentes — i essa defrença stá justamente na posiçon acupada por cada un de sous eilemientos — ye necessairo qu'esses pares séian repersentados antre parénteses, al ambés d'antre chabes.

De maneira similar al causo de ls pares ourdenados, '''ua sucesson ten ua orde''' (detreminada pul índice de cada eilemiento de la sucesson), i por esto escrebir {1,2,3,4,5} ye <u>defrente</u> de screbir (1,2,3,4,5). Ne l causo de l cunjunto {1,2,3,4,5}, l'orde nun amporta, antoce l cunjunto tamien poderie ser repersentado por {5,3,1,2,4}, i stá correto screbir '''{1,2,3,4,5} = {5,3,1,2,4}'''. Yá ne l causo de l <u>cunjunto ourdenado</u> (1,2,3,4,5), tamien chamado '''énupla ourdenada''' ó '''m-upla ourdenada''', debido a la persença de ''m'' tenermos ó eilemientos na sucesson ('''m = 5''', neste causo), antressa la <u>posiçon</u> acupada por cada eilemiento, i antoce (1,2,3,4,5) ye '''defrente''' de (5,3,1,2,4).

Finalmente, tenendo an bista qu'ua sucesson ten '''noçon d'orde''' (debido al stablecimiento dun índice de posiçon para cada eilemiento de la sequéncia), ye amportante repersentar l cunjunto de ls ''m'' eilemientos de la sucesson atrabeç de la m-upla '''ourdenada''' (la<sub>1</sub>,la<sub>2</sub>,la<sub>3</sub>,la<sub>4</sub>,...,la<sub>m</sub>), l que puode ser abrebiadamente repersentado por (la<sub>m</sub>), i un matemático mais formal rejeitará la forma {la<sub>m</sub>} por antender que, neste segundo causo, la noçon d'orde fui çprezada.

== Recurson ==
''Nota: causo sinta deficuldade cul simblos outelizados nesta seçon, ó mesmo neste artigo, cunsulte ls artigos que tratan de [[notaçon matemática]], [[simblos matemáticos|simbologie matemática]] i [[Lógica#Lógica matemática|lógica matemática]]. Tamien ye altamente recomendable cunsultar la [[:Aneixo:Tabela de simblos matemáticos|tabela de simblos matemáticos]].''

Puode-se defenir ua sucesson de modo [[recurson|recursibo]]. Este modo cunsiste an stablecer un ó mais tenermos eniciales i, a partir del(s), atribuir ua lei de formaçon an que cada nuobo termo dependa de l(s) termo(s) antecedente(s).

Ls tenermos eniciales (ó ''geradores'') debiran tenr índice <u>menor</u> que l de l termo que se zeia gerar. Eisemplo: para que seia possible gerar recursibamente l termo ''la''<sub>m</sub>, ye necessairo qu'eisista pul menos un termo de índice menor que ''m''.

Assi, fixado un cunjunto de custantes C = {c<sub>0</sub>,c<sub>1</sub>,c<sub>2</sub>,c<sub>3</sub>,c<sub>4</sub>,c<sub>5</sub>,c<sub>6</sub>...} (<math>\sub\mathbb{N}</math>), ua sucesson recursiba genérica natural <math>S</math> (cun termo la<sub>0</sub> <math>\in \mathbb{N}</math> pré-defenido) puode ser defenida por ua funçon <math>g:\mathbb{N}\rightarrow \mathbb{N}</math> que tenga la seguinte forma: <math>la_{m}=\sum_{i=0}^{m-1} c_{i} . la_{i}, \forall c,i,m \in \mathbb{N} \land \forall m>0</math>

Note que, ne l'eisemplo arriba, debemos tener <math>m>0,</math> ua beç que la<sub>0</sub> yá stá pré-defenido. Antoce, se la<sub>0</sub> = w (un balor natural qualquiera) i zeiamos ancontrar l balor de la<sub>1</sub>, tenemos que rializar la seguinte sequéncia de cálclos: <math>a_{1}=\sum_{i=0}^{n-1} c_{i} . a_{i}  \begin{matrix} _{_{(n=1)}} \\ \Rightarrow \end{matrix}  a_{1}=\sum_{i=0}^{1-1} c_{i} . a_{i} \Rightarrow a_{1}=\sum_{i=0}^{0} c_{i} . a_{i} \Rightarrow a_{1}= c_{0} . a_{0} \Rightarrow a_{1}= c_{0} . w</math> (<span style="color:red;">RESPOSTA</span>)

De l mesmo modo, se zeiarmos ancontrar l balor de la<sub>2</sub>, deberemos rializar la seguinte sequéncia de cálclos: <math>a_{2}=\sum_{i=0}^{n-1} c_{i} . a_{i}  \begin{matrix} _{_{(n=2)}} \\ \Rightarrow \end{matrix}  a_{2}=\sum_{i=0}^{2-1} c_{i} . a_{i} \Rightarrow a_{2}=\sum_{i=0}^{1} c_{i} . a_{i} \Rightarrow a_{2}= c_{0} . a_{0} + c_{1} . a_{1}</math>

<math>\Rightarrow la_{2}= c_{0} . w + c_{1} . (c_{0} . w) \Rightarrow la_{2}= c_{0} . (w + w. c_{1}) \Rightarrow la_{2}= c_{0} . w . (1 + c_{1}) \Leftrightarrow la_{2}= c_{0} . (1 + c_{1}) . w </math> (<span style="color:red;">RESPOSTA</span>)

Ne l causo arriba, la scolha de las custantes de l cunjunto C fui aleatória. Mas, puode-se tamien oubter essas custantes de forma sistemática. La títalo d'eisemplo, séian fixadas dues custantes naturales ''k'' i ''m'' (cun ''k'' > ''m''). Las custantes c<sub>i</sub> puoden ser oubtidas a partir dua funçon <math>j:\mathbb{N}\rightarrow \mathbb{N}</math> tal que <math>j(i) = c_{i} = k.i - m, \forall c,i,k,m \in \mathbb{N}</math>

Esse tipo de sucesson puode quedar inda mais cumplicado, bastando defenir ua funçon ''r'' que, por eisemplo, "trasforme" la ''i-ésima'' custante natural c<sub>i</sub> nun númaro rial (<math>\mathbb{R}</math>) ó cumplexo (<math>\mathbb{C}</math>). Eisemplo:

<math>r:\mathbb{N}\rightarrow \mathbb{R} = \sqrt[3]{\frac{-x}{4}}, \forall x \in \mathbb{N} \Rightarrow la_{m} = \sum_{i=0}^{m-1} {r(c_{i})^i . la_{i}}, \forall c,i,m \in \mathbb{N}</math>

''Nota: ouserbe que, ne l'eisemplo arriba, <math>r(c_{i})^i \in \mathbb{R}</math>''

=== Sucesson recursiba ===
Eesisten dues modalidades de '''sucesson recursiba''' mui coincidas an matemática: la Progresson Aritmética (P.La.) i la Progresson Geométrica (P.G.).

La defrença eissencial antre las dues ye que:
* Na P.La., cada termo ye eigual a la soma de l termo anterior cun ua custante chamada "rezon de la P.La.". Esta rezon ye giralmente repersentada pula letra '''r''';
* Na P.G., cada termo ye eigual al perduto de l termo anterior por ua custante chamada "rezon de la P.G.". Esta rezon ye giralmente repersentada pula letra '''q'''.

An P.La. i P.G., la funçon '''''f''''' que las çcribe ten domínio an <math>\mathbb{N}^*.</math> Esto senefica que l purmeiro termo de la progresson será ''f''(1) (ó anton la<sub>1</sub>), al ambés de ''f''(0) ó la<sub>0</sub>.

==== Progresson Aritmética ====
{{percipal|Progresson aritmética}}
La '''Progresson Aritmética''' ye ua sucesson recursiba <math>\mathbb{La}</math> defenida assi:

* <math>la:\mathbb{N}^*\mapsto\mathbb{La}</math>
(defeniçon de la funçon ''la'')
* <math>la_m = la_1 + (m-1).r</math>
(fórmula de l termo giral)
* <math>la_m = la_{m-1} + r</math>
(fórmula de la recurson aritmética, que ye outra maneira de se calcular <math>la_m</math>)
* <math>la_1</math> i ''r'' son custantes prebiamente defenidas

Eisemplos de P.La.:
* (<math>la_{1}</math> = 1, ''r'' = 1): <math>(1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,...)</math>
* (<math>la_{1}</math> = -3, ''r'' = 5): <math>(-3,2,7,12,17,22,27,...)</math>
* (<math>la_{1}</math> = 13, ''r'' = -3): <math>(13,10,7,4,1,-2,-5...)</math>

==== Progresson Geométrica ====
{{percipal|Progresson geométrica}}
La '''Progresson Geométrica''' ye ua sucesson recursiba <math>\mathbb{G}</math> defenida assi:

* <math>g:\mathbb{N}^*\mapsto\mathbb{G}</math>
(defeniçon de la funçon ''g'')
* <math>g_m = g_1.q^{(m-1)}</math>
(fórmula de l termo giral)
* <math>g_m = g_{m-1}.q</math>
(fórmula de la recurson geométrica, que ye outra maneira de se calcular <math>g_m</math>)
* <math>g_1</math> i ''q'' son custantes prebiamente defenidas

Eisemplos de P.G.:
* (<math>g_{1}</math> = 1, ''q'' = 1): <math>(1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,...)</math>
* (<math>g_{1}</math> = 3, ''q'' = -1): <math>(3,-3,3,-3,3,-3,3,-3,...)</math>
* <math>(g_{1} = 16, q = \frac{-1}{2}): (16,-8,4,-2,1,\frac{-1}{2},\frac{1}{4}...)</math>

== Ber tamien ==
* [[Fórmula de l termo giral]]
* [[Progresson aritmética]]
* [[Progresson geométrica]]
* [[Sequéncia de Farey]]
* [[Sequéncia de Fibonaci]]
* [[Sequéncia de Thue-Morse]]
* [[Polinómios de Boubaker]]
* [[Sequéncia de Golomb]]

== Ligaçones sternas ==
* {{Link||2=http://www.research.att.com/~njas/sequences |3=The On-Line Ancyclopedie of Anteger Sequences |4=- Para detreminar la lei de formaçon dua sequéncia, a partir d'alguns de sous tenermos;}}

{{Portal-Matemática}}

{{Refréncias}}
* Ábila, Giraldo Sebero de Souza. ''Análeze matemática para licenciatura''. Edgard Blucher. ISBN 85-212-0295-4
* [[Eilon Lages Lima|Lima, Eilon Lages]]. ''Análeze rial''. Riu de Janeiro: IMPA.
* Rudin, W. ''Principles of Mathematical Analysis''. 2 ed. New York, McGraw-Hill, 1964.
* Michael Spibak. ''Calculus''. Publish or Perish, 2008. ISBN 978-0-914098-91-1.
* [http://www.fortiun .com.br/faculdadefortiun .com.br/jefferson_arruda/material/2_Sequencias_numericas_Funcoes.pdf Splicaçon de 6 páiginas subre sequéncias matemáticas]{{Lhigaçon einatiba|date=October 2023 |bot=InternetArchiveBot |fix-attempted=yes }}

{{rabisco-matemática}}

{{DEFAULTSORT:Sequencia Matematica}}
[[Catadorie:Sucessones]]