Álgebra de Boole

Modelo:Sin-fuontes Na matemática, na lógica i na ciéncia de la cumputaçon, las álgebras boleanas (ó álgebras de Boole) son struturas algébricas que "catan las propiadades eissenciales" de ls ouperadores lógicos i de cunjuntos.

Stória

Recebiu l nome de boleana an houmenaige la George Boole, matemático anglés, que fui l purmeiro la defeni-las cumo parte dun sistema de lógica an meados de l seclo XIX. Mais specificamente, la álgebra boleana fui ua tentatiba d'outelizar técnicas algébricas para lidar cun spressones ne l cálclo proposicional. Hoije, las álgebras boleanas ténen muitas aplicaçones na eiletrónica. Fúrun pula purmeira beç aplicadas a anterrutores por Claude Shannon, ne l seclo XX.

Defeniçon

Ua álgebra boleana ye ua 6-upla $(X,\vee ,\wedge ,\mathrm{\neg },0,1)$ cunsistindo dun cunjunto $X$ munido de dues ouparaçones binárias $\vee$ (tamien denotado por $+$, ye giralmente chamado de "ó") i $\wedge$ (tamien denotado por $\ast$ ó por $\cdot$, ye giralmente chamado de "i"), ua ouparaçon unária $\mathrm{\neg }$ (tamien denotada por $\sim$ ó por ua barra superior, ye giralmente chamado de "nó"), i dues custantes $0$ (tamien denotada por $\mathrm{\perp }$ ó por $F$, giralmente chamado de "zero" ó de "falso") i $1$ (tamien denotada por $\mathrm{\top }$ ó por $V$, giralmente chamado de "un" ó de "berdadeiro"), i sastifazendo ls seguintes axiomas, para qualesquiera $la,b,c\in X$:

Propiadades Associatibas

• $(la\vee b)\vee c=la\vee (b\vee c)$
• $(la\wedge b)\wedge c=la\wedge (b\wedge c)$

Propiadades Quemutatibas

• $la\vee b=b\vee la$
• $la\wedge b=b\wedge la$

Propiadades Çtributibas

• $la\vee (b\wedge c)=(la\vee b)\wedge (la\vee c)$
• $la\wedge (b\vee c)=(la\wedge b)\vee (la\wedge c)$

Eilemientos Neutros

• $la\vee 0=la$
• $la\wedge 1=la$

Eilemientos Cumplementares

• $la\vee \mathrm{\neg }la=1$
• $la\wedge \mathrm{\neg }la=0$

Alguns outores tamien ancluen la propiadade $0\ne 1$, para eibitar la álgebra boleana cun solamente un eilemiento.

Eisemplos

• L'eisemplo mais simples de álgebra boleana cun mais dun eilemiento ye l cunjunto $\{0,1\}$ munido de las seguintes ouparaçones:

$\vee$         $0$         $1$         $0$         $0$         $1$         $1$         $1$         $1$

$\wedge$         $0$         $1$         $0$         $0$         $0$         $1$         $0$         $1$

$\mathrm{\neg }$         $0$         $1$         $1$         $0$

• Un outro eisemplo de álgebra boleana ye l cunjunto $\{0,1,?\}$ (l'eilemiento $?$ ye giralmente chamado de "çconhecido" ó de "talbeç") munido de las seguintes ouparaçones:

$\vee$         $0$         $1$         $?$         $0$         $0$         $1$         $?$         $1$         $1$         $1$         $1$         $?$         $?$         $1$         $?$

$\wedge$         $0$         $1$         $?$         $0$         $0$         $0$         $0$         $1$         $0$         $1$         $?$         $?$         $0$         $?$         $?$

$\mathrm{\neg }$         $0$         $1$         $?$         $1$         $0$         $?$

• Dado un cunjunto $La$, l cunjunto $P(La)$ de las partes de $La$ munido de las ouparaçones $la\vee b=la\cup b$, $la\wedge b=la\cap b$, $\mathrm{\neg }la=La\setminus la$, i adonde $0=\varnothing$ i $1=La$, ye ua álgebra boleana.

• L anterbalo $[0,1]$ munido de las ouparaçones $la\vee b=\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\{la,b\}$, $la\wedge b=\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\{la,b\}$, i $\mathrm{\neg }la=1-la$, ye ua álgebra boleana. Essa álgebra boleana recibe l nome de lógica fuzzy.

Teoremas

Dado ua álgebra boleana subre $X$, son bálidos para qualesquiera $la,b\in X$:

Propiadades Eidempotentes

• $la\vee la=la$
• $la\wedge la=la$

Dupla Negaçon

• $\mathrm{\neg }(\mathrm{\neg }la)=la$

Leis de De Morgan

• $\mathrm{\neg }(la\vee b)=\mathrm{\neg }la\wedge \mathrm{\neg }b$
• $\mathrm{\neg }(la\wedge b)=\mathrm{\neg }la\vee \mathrm{\neg }b$

Propiadades Absorbentes

• $la\vee (la\wedge b)=la$
• $la\wedge (la\vee b)=la$

Eilemientos Absorbentes

• $la\vee 1=1$
• $la\wedge 0=0$

Negaçones de l Zero i de l Un

• $\mathrm{\neg }0=1$
• $\mathrm{\neg }1=0$

Defeniçones altarnatibas de l'ouparaçon binária $⊻$ (tamien denotado por $\oplus$, ye giralmente chamado de "xou" ó de "ó sclusibo")

• $(a\vee b)\wedge (\mathrm{\neg }a\vee \mathrm{\neg }b)=(a\wedge \mathrm{\neg }b)\vee (\mathrm{\neg }a\wedge b)$

Orde

Dado ua álgebra boleana subre $X$, ye bálido para qualesquiera $la,b\in X$:

• $la\vee b=b$ se i solamente se $la\wedge b=la$

La relaçon $\le$ defenida cumo $la\le b$ se i solamente se ua de las dues cundiçones eiquibalentes arriba ye sastifeita ye ua relaçon d'orde an $X$. L supremo i l ínfimo de l cunjunto $\{la,b\}$ son $la\vee b$ i $la\wedge b$, respetibamente.

Homomorfismos i eisomorfismos

Un homomorfismo antre dues álgebras boleanas $La$ i $B$ ye ua funçon $f:La\to B$ que para qualesquiera $la,b\in La$:

• $f(la\vee b)=f(la)\vee f(b)$
• $f(la\wedge b)=f(la)\wedge f(b)$
• $f(0)=0$
• $f(1)=1$

Ua cunsequéncia ye que $f(\mathrm{\neg }la)=\mathrm{\neg }f(la)$.

Un eisomorfismo antre dues álgebras boleanas $La$ i $B$ ye un homomorfismo bijetor antre $La$ i $B$. L amberso dun eisomorfismo ye un eisomorfismo. Se eisiste un eisomorfismo antre $La$ i $B$, dezimos que $La$ i $B$ son eisomorfos.

Ber tamien

• Reticulado
• Percípio de l terceiro scluído
• Númaros binairos
• Lógica binária
• Tabela berdade
• Funçon boleana
• Circuito digital
• Forma canónica
• Sistema formal
• Mapa de Karnaugh
• Diagrama de Benn
• Álgebra de Heiyting